请问数列的立方和公式怎么证明的???请详细说明

设1^3+2^3+......n^3=[n(n+1)/2]^2 成立
则1^3+2^3+......n^3+(n+1)^3=[n(n+1)/2]^2+ (n+1)^3
(化间)=(n^4+6n^3+13n^2+12n+4)/4
又因为[(n+1)(n+1+1)/2]^2=(n^4+6n^3+13n^2+12n+4)/4 (化间)
所以 1^3+2^3+......n^3+(n+1)^3=[n(n+1)/2]^2+ (n+1)^3＝[(n+1)(n+1+1)/2]^2
所以1^3+2^3+......n^3=[n(n+1)/2]^2 成立

这是数学归纳法 基本思想是验证n=1时等式成立 n=2时等式成立....设n=k时等式成立 只要证明n=k+1时等式仍成立 则无论k=任何数 等式都成立 故等式恒成立

说明：
(1)设S(n, m) = 1^m + 2^m + ... + n^m
(2)一开始回答的时候把公式的阶数打错了。不想再改了，下面使用的公式是n^3 - (n-1)^3 = 3 * n^2 - 3 * n + 1，如果你知道S(n, 1)的公式，用下面的办法就可以得到S(n, 2)的公式。
同样如果你用公式n^4 - (n-1)^4 = 4 * n^3 - 6 * n^2 + 4 * n - 1，套用同样的方法，就可以得到S(m, 3)的公式。
一般地，使用公式n^(m+1) - (n-1)^(m+1)展开，加上不厌其烦的努力，就可以得到S(n, m)的公式。

那么开始，看看如何由S(n, 1)得到S(n, 2):

n^3 - (n-1)^3 = 3 * n^2 - 3 * n + 1
(n-1)^3 - (n-2)^3 = 3 * (n-1)^2 - 3 * (n-1) + 1
...
2^3 - 1^3 = 3 * 2^2 - 3 * 2 + 1
1^3 - 0^3 = 3 * 1^2 - 3 * 1 + 1