高一的作业题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 08:11:25
设a1,a2,a3,a4,a5为自然数,A={a1,a2,a3,a4,a5},B={a1^2,a2^2,a3^2,a4^2,a5^2},且a1小于a2小于a3小于a4小于a5,并满足A与B的交集={a1,a4},a1+a4=10,A与B的并集中各元素之和为256,求集合A

请写出详细步骤,谢谢

（1）
因为A与B的交集={a1,a4}，所以B中含有a1和a4，a1与a4都是平方数
而a1+a4=10，故只能取 a1 = 1 , a4 = 9
所以A = { 1, 3, x, 9, a5 } …………（注：可能是a2=3，也可能是a3=3）
B = { 1, 9, x^2, 81, a5^2 }

（2）
A与B的并集 = { 1, 3, x, 9, a5, x^2, 81, a5^2 }
他们的和为256，故：
x + x^2 + a5 + a5^2 = 256 - (1+3+9+81) = 162

（3）
我们先从a5入手，a5>9，但 ( a5 + a5^2 ) 应小于162，所以a5只能取10、11、12
若a5 = 10，则 ( x + x^2 ) = 162 - 110 = 52，x无整数解；
若a5 = 11，则 ( x + x^2 ) = 162 - 132 = 30，可求得 x = 5；
若a5 = 12，则 ( x + x^2 ) = 162 - 156 = 6，可求得 x = 2。

综上所述，总共有2个答案：
① A = { 1，3，5，9，11 }，B = { 1，9，25，81，121 }
② A = { 1，2，3，9，12 }，B = { 1，4，9，81，144 }