若a.b.c是三角形ABC的三边，且关于X的一元二次方程

方程有二个相等的根，则：
4[b-a]^2-4[c-b][a-b]=0
b^2+a^2-2ab-[ac-bc-ab+b^2]=0
a^2-ab-ac+bc=0
a[a-b]-c[a-b]=0
[a-b][a-c]=0

a-b=0
a-c=0

a=b=c

所以，三角形是等边三角形。

方程有二个相等的根，则：
4[b-a]^2-4[c-b][a-b]=0
b^2+a^2-2ab-[ac-bc-ab+b^2]=0
a^2-ab-ac+bc=0
a[a-b]-c[a-b]=0
[a-b][a-c]=0

a-b=0
a-c=0

a=b=c

所以，三角形是等边三角形。

利用根与系数的关系得:
[2(b-a)]^2-4(c-b)(a-b)=0
整理得:
a^2-ab-ac+bc=0
分解因式得:
(a-b)(a-c)=0
所以a=b或a=c
所以三角形ABC是等腰三角形.

(2(b-a))^2-4*(c-b)(a-b)=0
4b^2-8ab+4a^2-4ac+4ab+4bc-4b^2=0
4a^2-4ab-4ac+4bc=0
a(a-b)=c(a-b)
a=c

等腰三角形

因为关于X的一元二次方程（c-b)x^2+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实根
所以[2(b-a)]^2-4(c-b)(a-b)=0
化简得：(a-b)(a-c)=0
所以是等边三角形

4(b-a)^2－4（c-b)(a-b)=0
a=b
或a-b=c-b 即a=c
三角形ABC为等腰三角形