数学厉害的来高二题

a^2b^2 + b^2c^2 ≥ 2ab^2c
b^2c^2 + a^2c^2 ≥ 2abc^2
a^2b^2 + a^2c^2 ≥ 2a^2bc
相加得
2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) ≥ 2abc(a + b + c)
a,b,c∈R+
因此，两边同除(a + b + c) 得
(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2)/(a+b+c)≥abc.

要证明(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/(a+b+c)大于等于abc
则只证明b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2大于等于abc（a+b+c）注意，a，b，c都是正数。只证b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2-abc（a+b+c）大于等于0即b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2-a^2bc-b^2ac-c^2ab.因为（b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2-a^2bc-b^2ac-c^2ab）=2（b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2-a^2bc-b^2ac-c^2ab）/2＝（2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-2a^2bc-2b^2ac-2c^2ab）/2＝（bc-ac)^2+(ab-bc)^2+(ac-bc)^2/2大于等于0，所以b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2-abc（a+b+c）大于等于0。所以(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/(a+b+c)大于等于abc。说简单一点就是用完全平方公式。