如何理解两个无理数之间一定可以找到一个有理数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/19 12:54:01
我最近在自学数分,遇到这个问题不理解!我看的这本书从定义的角度说明了无理数大小比较的办法。定义中说“因为这两个数互不相同,则以它们为界限的那两个分割也不相同,特别地,这两个分割的左边的类A1和A2也互不相同,这就表明在这些集合中的某一个,例如在A2中可以找到这样一个有理数r是在A1中所没有的。”就这句话我不理解！两个左边的类不相同好像也不足以说明一定可以找到这样的有理数吧？

设两个无理数为a和b，这两个数肯定不相等，假设a>b，设c=a-b，不管c如何小，我们都可以找到一个足够大的正整数n使得nc>1，也就是说n(a-b)>1，即na-nb>1，只要两数相差大于1我们都可以在它们之间找到至少一个整数（因为相邻整数之差为1），假设这个整数为m，则na>m>nb,所以a>m/n>b，m/n即为有理数。

命题：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数
证明：设X,Y为任意两个无理数，且X＜Y
将X,Y写成小数形式，从最高位开始比较两个数
直到找到一位X,Y不一样的位数，那一位上的数必然是X＜Y
去掉Y在那一位以后的所有位，得到一个有限小数，记为Z
显而易见X＜Z＜Y
Z为有理数，命题6成立