马丁·加德纳的四个乌龟行进路径的轨迹方程求解，长度是多少？

此题不同于一般的动力学问题，其速度的大小不变而方向确随时变化。

将乌龟看作是质点，那么基本思路如下：

1.全部质点的运动都具有等价性，即运动过程中质点之间的相对几何关系不变。
2.任何一个质点瞬间运动方向是其轨迹曲线的切线方向。

根据题意，采用极坐标描述比较方便，推导过程之中采用直角坐标系辅助说明。以N个质点所

共圆之圆心为坐标原点 O，任意选择一个质点在 OX 轴上，那么有：

标号为 k 的质点 Pk ，其直角坐标为Pk(xk,yk)，极坐标为Pk(r,θ+k*α)，其中，θ为质点

P0的相角，k为质点编号，α=2π/n。由于任何时候，每个质点相对坐标原点的距离相等，所

以r一样。

假定P0点初始坐标为P0(R,0)..................即初始圆半径为 R

现在研究P0质点的运动，假定任意时刻 P0(x,y)，即有

x = r*cosθ....... dx = cosθ*dr - r*sinθ*dθ
y = r*sinθ....... dy = sinθ*dr + r*cosθ*dθ

P0追踪的点为P1，其坐标为
x1 = r*cos(θ+α)
y1 = r*sin(θ+α)

P0运动轨迹的切线斜率为：

(y1 - y)/(x1 - x) = dy/dx ...........................(1)

(y1 - y)*dx
= r*[sin(θ+α) - sinθ]*(cosθ*dr - r*sinθ*dθ)
= 2r*sin(α/2)*cos(θ+α/2)*(cosθ*dr - r*sinθ*dθ)
= 2r*sin(π/n)*[ cos(θ+π/n)*cosθ*dr - r*cos(θ+π/n)*sinθ*dθ]

(x1 - x)*dy
= r*[cos(θ+α) - cosθ]*(sinθ*dr + r*cosθ*dθ)