关于中点的轨迹方程

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 05:09:55
已知双曲线x^2-y^2/3=1上存在关于直线y=kx+4的对称点，求实数k的取值范围，并求两对称点连线中点M的轨迹方程
我算出k范围是k>0.5或k<-0.5
但是第2问M的轨迹中,M的纵坐标是常数3，横坐标是-1/k
不知道对错，请各位高手指点，本人在这先谢过了！！！

主要是求M点轨迹！！！！！

解：首先由双曲线上存在关于直线l:y=kx+4对称点可以设对称两点为A（x1，y1）B（x2，y2），且此直线的斜率为-1/k
设此直线的方程为y=-x/k+c 代入双曲线方程式可以得：
3x^2-(-x/k+c)^2-3=0
即：(3k^2-1)x^2+2kcx-(c^2+3)=0有两个不同的解，即：
3k^2-1≠0,且：△=4(kc)^2-4(3k^2-1)(c^2+3)>0 (1式)
此时：x1+x2=2kc/(1-3k^2)
Y1+y2=-(x1+x2)/k+c=(1+3k^2)c/(3K^2-1)
此时由AB的中点在直线l 上可以得到：
（Y1+y2）/2=k（x1+x2）/2±4
即：(1+3k^2)c/(3K^2-1)= 2k^2c/(1-3k^2) ±8 (2式)
根据（2式）可以得到一个c关于k的一个方程，此时将得到的c关于k的一个方程代入到上面的(1式)中，那么，就可以得到一个关于K的不等式，解之可以得到K的范围。

用几何画板试一下