导数在近似计算中的应用

1.算sin44(这里表示角度)
这题如果你不用计算器，能算出来？能，至少是两位小数，用的就是导数
f(x)≈f(x-△x)+△xf'(x) 你画出图形，就发现△x很小的时候，这个近似很接近，sin44=sin45-1∏/180*sin'(45)≈sin45-1∏/180*cos(45)≈0.694765439 按一下计算器 sin45=0.69465837 如果保留三位有效数字，应该很接近了。
算sqrt(2.1) sqrt(2.1)≈sqrt(2)+0.1*sqrt'(2)=sqrt(2)+0.05/sqrt(2)≈1.449568901 按一下计算器sqrt(2.1)≈1.449137675
2.牛顿迭代法
牛顿迭代法是求函数0点的方法，比如求f(x)=0
公式是x(n)=x(n-1)+f(x(n-1))/f'(x(n-1)) 然后随便给xn赋值，迭代就可以得到方程的解。在图像上你会发现，用此迭代入法，收敛速度非常快，往往算几下就得到方程的近似根
你可以试一试 a1=1.7(要用弧度计算) an=a(n-1)-tan[a(n-1)]
lim(n→+∞)an=3∏ 其实 an=a(n-1)-sin[a(n-1)]/cos[a(n-1)]=a(n-1)-sin[a(n-1)]/sin'[a(n-1)] lim(n→+∞)an=[sin(x)=0最接近1.7的根]
这样一来，高次方程虽然没有求根公式，但同样可以用牛顿法求根的近似值