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下面的讨论里有N=12，13，39等情况

12个球称3次找坏球的完美解答

古老的智力题详述:
有12个球特征相同,其中只有一个重量异常,要求用一部没有砝码的天平称三次,将那个重量异常的球找出来。

网上的最多的方法是逻辑法,还有少数画成图的所谓策略树和基于此的程序算法.这道题有13种不同的答案.这里我提出一种新的完全的数学解法:

一·首先提出称量的数学模型:
把一次称量看成一个一次代数式,同样问题就可以描述成简单的矩阵方程求解问题.怎么把一次称量表示成一个代数式呢?
1),简化描述小球的重量(状态)----正常球重量设为0,设异常球比正常球重为1或轻为-1,异常球未知轻重时用x代表(只取1或-1).用列向量j表示所有球的重量状态.
2),简化描述称量的左右(放法)-----把某号球放左边设为1,右边设为-1,不放上去设为0.用行向量i表示某次称量所有球的左右状态.
3),描述称量结果:
由1),2)已经可以确定一个称量式
∑各球的重量*放法=天平称量结果.--------(1)式
如果我们用向量j,i分别表示球的重量状态和球的左右放法情况(j为行向量,i为列向量),对于(1)式,可以改写为
j*i=a(常数a为单次称量结果) -------------(2)式
例如有1-6号共6个小球,其中4号为较重球,拿3号5号放左边,1号4号放右边进行称量,式子为:
(-1)*0+0*0+1*0+(-1)*1+1*0+0*0=-1,
从-1的意义可以知道它表示结果的左边较轻;
同样可以得到0表示平衡,1表示左边较重.
4),方程用来描述称量过程,还需附加一个重要的条件:代表放左边的1和右边的-1个数相等,也就是
∑各球的放法=0-------------------------(3)式
这样就解决了称量的数学表达问题.

对于12个小球的3次称量,分别用12维行向量j1,j2,j3表示,由j1j2j3便构成了3×12的称量矩阵J；对于某一可能情况i,对应的3次称量结果组成