这栋房子谁来继承？

首先应当确认房屋属婚前或是婚后财产.即你的第二个问题.按照你的说法,你父母都在时就有一套住房,那么,只要这个房屋在你父亲和继母再婚前取得了完全的产权,就属你父亲的婚前财产,而且最为重要的是,这个房屋并不归你父亲享有完全份额,因为你母亲去世时就应当发生过一次继承,你对这个房屋也是有份额的.总而言之,这个房屋与你继母没有关系.
其次,如果你父亲去世,则就这个房屋中属于你父亲的份额又会发生一次继承,你和你的继母都享有继承权.继母的女儿与你父亲如没有形成抚养关系,则不享有继续权,但如果你的继母也不在了的时候,她的女儿对于她的财产也是享有继承权的,所以问题就会变得很复杂.
建议你在同意你父亲方案的同时,要求其对自身财产份额立一个遗嘱,鉴于涉及房产,最好做一个公证,这样以后的纠纷都可以避免了.
如果还不明确,可以发消息进一步问询.

此房如果系他再婚前取得完全产权，那么属于你父亲的婚前个人财产。

如果你父亲去世，由于此房涉及你父亲遗产，如果没有遗嘱，你父亲去世后，他的继承人应该是配偶、子女共同继承。
子女包括亲生子女，也包括形成抚养关系的继子女。

首先，你母亲去世时，属于她的此房产的一半已经发生一次继承：你得四分之一，你父亲得四分之一。加上他原有的一半份额，你父亲拥有此房的四分之三的产权
由于此房属于你父亲的婚前财产，你父亲去世时，属于他的那部分房产作如下分割：
1、如果他与三个继女形成了抚养与被抚养关系，则你的继母、三个继姐妹和你各得四分之三的五分之一，即二十分之三，此时你拥有二十分之七的份额
2、如果你父亲与三个继女未形成抚养和被抚养关系，则你的继母和你各得四分之三的一半，即八分之三，此时你拥有此房产的八分之五，三个继女无继承权

你继母去世时，如果你与她形成了抚养被抚养关系，那么她的财产由你和她的三个女儿平分，如果你与她无抚养被抚养关系，则你对她的财产没有继承权，她的财产由她的三个女儿平分