概率的难题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 11:47:21
考场里的座位恰好有n行m列，并且恰好有n*m位考生在这个考场里面考试，也就是说，所有的座位上都有考生。hzy根据学校记载，有k位考生可能作弊，因此hzy不能让他们之中的任何两个人做在相邻的座位上！所谓相邻的座位，即在同一行相邻列或者在同一列的相邻行的座位。hzy准备这样安排座位，首先随机选择一种方案，如果这种方案是合法的，就用这种方案，否则重新选择。你的任务是计算，他得到一个合法方案时，需要的期望选择次数。

先想象一下国际象棋的棋盘:交叉的双色格子!
把座位看作这样的格子，那么k位可能作弊的考生应该安排在颜色相同的格子(后来发现也未必,但是不影响结果)。
当m、n都是奇数时，可以安排作弊考生的位子最多有
x=（mn+1）/2，
当m、n不全是奇数时，可以安排的位子刚好是x=mn/2
所以k应不大于x
在一次随机选择方案时，选到合法方案的概率p=（C k x）/（C k mn） ——注：C k x表示从x中选k的组合数，其他的类似

期望选择次数N=1*p+2*（1-p）*p + 3*（1-p）^2*p+……
我是假设他的选择是重复的抽样（因为你说了他是随机选择一个方案），这样的结果是，他可能会选择无限多次，从而上式成为一个无穷级数。剩下的问题是求无穷级数的和。
我的回答离正确答案还有距离，但是可以给你一些启发。希望你把你的想法写出来我们讨论。