等轴双曲线的一点P到中心的距离为d,则点P到两焦点的距离之积为多少?

等轴双曲线的一点P到中心的距离为d,则点P到两焦点的距离之积为(a²c²+c²d²-a^4)/(2a²)。计算方法为：
设等轴双曲线为x²-y²=a² (1)
那么设它上面一点在右支上，为M(x,y)，
M到中线的距离为d=√(x²+y²) (2)
联立(1)(2)解得：x²＝(a²+d²)/2
根据双曲线的第二定义，M到两个焦点的距离分别为：
d1=(c/a)(x-a²/c)，d2=(c/a)(x+a²/c)。
那么d1d2=(c²/a²)(x²-a^4/c²)=(a²c²+c²d²-a^4)/(2a²)。

在数学中，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。

d²=x²+y² . a²=b² ,2a²=c²
PF1²=(X+C)²+Y²:PF2²=(X-C)²+Y²
(PF1-PF2)²=4a²=(X+C)²+Y²+(X-C)²+Y²-2PF1PF2
=2(X+Y)²+2C²-2PF1PF2
=2d²+4a²-pf1pf2
整理得：pf1pf2=d²

设x^2/a^2-y^2/a^2=1,P与原点连线的夹角为B，则P(dcosB,dsinB),则d^2cos2B=a^2
到两个焦点的距离分别为l、m.则（l-m)^2=l^2+m^2-2ml=2d^2+4a^