奥数题〈三道〉

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/23 18:31:31
1.已知(x^2-x+1)^6=a第十二项x^12+a的第十一项x^11+…+a的第二项x^2+a的第一项x+a的第零项，求a的第零项+a的第二项+a的第四项+……+a的第十二项
2.已知x=2，y=-4时，代数式ax^3+1/2by+5的值等于2005,
求当x=-4，y=-1/2时，代数式3ax-24by^3+5008的值
3.设一百个实数（a的一到一百项）满足(n-2)a的第n项-(n-1)a的第（n-1）项+1=0（2小于等于n小于等于100）。且知a的第一百项=199，求a的前一百项的和

12月8日 20:24 解.(1) 因为10=2×5=(1+1)(4+1)
又因为n能被7和9整除
所以n必为7×34或是3×74的形式,
因3×74不是9的倍数
所以n=7×34=7×81=567
(2)因a有两个约数
所以a必是质数
所以当a=5时,5a有三个约数,当a≠5(a为质数)时,5a有四个数.
例如a=3,则5a=15,
15的约数有1,3,5,15
再如a=5,则5a=25,
25的约数有1,5,25
(3)因15=15×1=(14+1)
或15=5×3=(4+1)(2+1)
所以设小于150的有15个约数的自然数为X
(1) 若X=A^14, 因2^14=16384>150,所以这样的X不存在,
(2) 若X=A^2B^4, 因2^2×3^4=324>150,所以A≠2,B≠3
因3^2×2^4=144<150,所以A=3,B=2
X=144;
又因为,当A为除3以外的其它数,B为除2以外的其它数时,X均大于150
所以所求的自然数是144;144的约数有:
1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,36,48,72,144.
这15个约数的和为1+2+3+4+6+8+9+12+16+18+24+36+48+72+144=403