双曲线的简单几何性质题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/23 13:18:57
P是双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)右支上的一点，F1、F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则三角形PF1F2的内切园的圆心横坐标为________。

请问这题怎么做?

直线L交双曲线于A,D两点,交双曲线的渐近线于B,C两点,求证:|AB|=|CD|.

分析：设AD的中点为M ，BC的中点为N
若M、N两点重合，则|AB|=|CD|
下面证明M、N的横、纵坐标分别相等
由于M、N在同一条直线上，所以横坐标相同时，纵坐标也一定相同
所以只需证明M、N的横坐标相等即可。
设直线L为：y=kx+s ,双曲线为 (x/a)^2 -(y/b)^2 =1
渐近线为：(x/a)^2 -(y/b)^2 =0
把y=kx+s代入 (x/a)^2 -(y/b)^2 =1中得：
(b^2-k^2*a^2)*x^2 -2ka^2*x -a^2*s^2-a^2*b^2=0
所以x1 + x2 = 2ka^2/(b^2-k^2*a^2)
把y=kx+s代入 (x/a)^2 -(y/b)^2 =0中得：
(b^2-k^2*a^2)*x^2 -2ka^2*x -a^2*s^2 = 0
所以(x1)′ + (x2)′ = 2ka^2/(b^2-k^2*a^2)
所以x1 + x2 = (x1)′ + (x2)′ ,即得M、N的横坐标相等
故原命题得证