帮忙数列题！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 20:06:50
数列{an}的通项公式为an=(n+1)（9/10）^n(n∈N).

(Ⅰ)求证:这个数列先增后减;

(Ⅱ)当n为何值时,an的值最大,最大值是多少?

解（I）：
a(n)=(n+1)(9/10)^n
a(n+1)=(n+2)(9/10)^(n+1)
a(n+1)/a(n)=[(n+2)(9/10)^(n+1)]/(n+1)(9/10)^n
=[(n+1)(9/10)^(n+1)+(9/10)^(n+1)]/[(n+1)(9/10)^n]
=[(n+1)(9/10)^(n+1)]/[(n+1)(9/10)^n]+[(9/10)^(n+1)]/[(n+1)(9/10)^n]
=[9/10]+(9/10)/(n+1)
=(9/10)[(n+1)+1]/(n+1)
=(9/10)(n+2)/(n+1)
可以看出，当(n+2)/(n+1)＜10/9时，即n＞8时
有a(n+1)/a(n)＜1，即a(n+1)＜a(n)，此时数列各项是递减的；
同理，当n＜8时，有a(n+1)/a(n)＞1，即a(n+1)＞a(n)，此时数列是递增的。
所以，这个数列先增后减。
解(II)：
由上面的解（I），我们可以看出，当n=8时，a(n)的数值最大，
最大值是：
a(8)=(8+1)(9/10)^8
=9(9/10)^8
=(9^9)/(10^8)
=3.87420489