高中数学题——极坐标003

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/23 15:03:19
A、B为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(0<a<b)上两点且OA⊥OB,求证1/OA^2+1/OB^2为定值

以中心为极点，x轴为极轴建立极坐标系
双曲线方程为ρ^2(cosθ)^2/a^2-ρ^2(sinθ)^2/b^2=1
1/ρ^2=(cosθ)^2/a^2-(sinθ)^2/b^2
设A(ρ1,θ)，由OA⊥OB得B(ρ2,θ+π/2)
1/OA^2+1/OB^2＝1/ρ1^2+1/ρ2^2
=(cosθ)^2/a^2-(sinθ)^2/b^2+(cos(θ+π/2))^2/a^2-(sin(θ+π/2))^2/b^2
=(cosθ)^2/a^2-(sinθ)^2/b^2+(sinθ)^2/a^2-(cosθ)^2/b^2
=1/a^2-1/b^2