设ap，aq，am，an是等比数列{an}中的第p、q、m、n项

证明：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则
ap=a1·qp-1，aq=a1·qq-1，am=a1·qm-1，an=a1·qn-1
所以：
ap·aq=a12qp+q-2，am·an=a12·qm+n-2，
故：ap·aq=am+an

说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：
a1+k·an-k=a1·an

对于等差数列，同样有：在等差数列{an}中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：
a1+k+an-k=a1+an

你应该是说ap*aq=am*an吧。
设a为首项，r为公比,由通项公式得
ap=a*r^(p-1)
aq=a*r^(q-1)
am=a*r^(m-1)
an=a*r^(n-1)
所以ap*aq=a*a*r^[(p-1)+(q-1)]=a^2*r(p+q-2)
am*an=a*a*r^[(m-1)+(n-1)]=a^2*r(m+n-2)
因为p+q=m+n
所以(p+q-2)=(m+n-2)
所以a^2*r(p+q-2)=a^2*r(m+n-2)
所以ap*aq=am*an