那破仑三角形

在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理。
以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙ 、⊙ 、⊙ 、的圆心构成的△ ——外拿破仑的三角形。⊙ 、⊙ 、⊙ 三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形.△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙ 、⊙ 、⊙ 的圆心构成的△ ——内拿破仑三角形⊙ 、⊙ 、⊙ 三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形.
这个题并不难证，首先△ABC′、△BCA′、△CAB的外接圆交于一点X.连AP、AR、XP、XR，易知△APR≌△XPR，故∠APR=∠XPR，连BQ、BP、XQ，同理可证∠BPQ=∠XPQ，于是∠QPR=1/2∠APB，由∠APB=120°知∠QPR=60°。同理∠PQR=∠QRP=60°，即△PQR为正三角形。 接圆交于一点X.类似可证三角形的内拿破仑三角形是正三角形.
拿破仑三角形还可有更简单的证明：实际上，在图1中，连AX、BX、CX，则由于PQ⊥BX，（两圆连心线垂直于公共弦）PR⊥AX，于是立即可得到∠QPR=60°，于是命题可证得