什么是自守函数论

十九世纪群论在函数论中的应用*

一、引言
自守函数理论不但在分析中是重要的，而且在某些工程问题上都有直接重要的应用，其理论本身是几何学、代数学、复分析、微分方程解析理论交叉的产物，体现了数学的统一性。本文目的是考察这一伟大理论的历史背景、发展过程以及现状，从内史和微观方法论的角度进行系统综合地研究，以期给现代数学研究提供借鉴意义。

二、前史
从理论发展来看，自守函数理论的渊源来自两个方面，一个是微分的一个是积分的。

（1）积分方面。
18世纪是分析的世纪，人们在大力拓展微积分发明而产生的诸多分支之时，第一个目标就是扩展微积分的主要内容，比如说发展微积分的技巧。James Bernulli, Leibniz, Euler等在研究钟摆、拉杆等弹性问题时遇到了类似于求椭圆和双曲线弧长中的那些无理函数积分，成为椭圆积分。这些问题经常遇到，因而吸引了许多数学家来研究。Legendre是这方面的权威，在分析椭圆积分性质方面做了重要的工作。Gauss1801年的《算术研究》也有一些研究。挪威数学家Abel和法国数学家Jacobi，两人几乎同时（1827）独立得到了从椭圆积分的反函数来着手研究的关键性想法，即研究椭圆函数。他们两人进行了一系列的开创性工作，如发现椭圆函数的双周期性、引进了椭圆积分的反演、引入theta函数构造椭圆函数等等。进一步发展就明显体现出自守函数的前身了。具有代表性的是Weierstrass的研究中，用theta级数构造椭圆函数时，发现了与模群相伴的自守性质的函数，可以用它来构造出所有的Weierstrass类椭圆函数。Gauss的遗稿中发现了对此问题的深入研究。

（2）微分方面
那个时代的实践中（风帆、振动薄膜、行星运动）提出了许多类型的二阶线性微分方程（James Bernulli, Bessel, D.Bernulli, Euler, Fourier, Poisson, Legendre, lame, Weber, Gauss）。其中最重要的就是超几何方程，它是以0、1和无穷作为奇点的二阶线性常微分方程。Euler给出了级数解；Gauss仔细研究了收敛性，深刻了解了其本性。十九世纪中期常微分方程的研究走上了一个新的历程――