直三棱柱中，BC1垂直AB1

分析一：要证AB1⊥CA1，只要证AB1与过CA1的一个平面α垂直，而要确定平面α，除以CA1外，还要有一条直线，因为该直线必与AB1垂直，故它必与AB1在平面ABC内的射影AB垂直，所以，该直线可取为等腰三角形ABC中底边AB上的高CD所在的直线．即只要证AB1⊥平面CDA1（D为AB的中点），而这可通过证明AB1⊥平面C1D1B（D1为A1B1的中点）来实现．

证明一：如图10．3，设D，D1分别为AB、A1B1的中点．连结CD，C1D1及BD1．因为BDD1A1，所以四边形BD1A1D为平行四边形，故BD1//DA1．因AC=BC，于是B1C1=C1A1．又D，D1分别为AB，A1B1的中点，故CD⊥AB，C1D1⊥A1B1，而AB1在平面ABC（或A1B1C1）内的射影为AB（或A1B1），故AB1⊥CD，AB1⊥C1D1，又已知AB1⊥BC1，所以AB1⊥平面BC1D1，从而AB1⊥BD1，又BD1//DA1，所以AB1⊥DA1．又AB1⊥C1D1，故AB1⊥平面A1CD，于是AB1⊥CA1．

分析二：为了将已知垂直关系中的线段BC1与要证垂直关系中的线段CA1联系起来我们应将其中一条线段平移．为此，将已知直三棱柱补成直四棱柱ACBD－A1C1B1D1（如图10．4），显然BC1//A1D，要证AB1⊥CA1，只要证AB1⊥平面CA1D，又已知AB1⊥BC1，从而有AB1⊥A1D．故只要证AB1⊥CD，而这可由三垂线定理得出．

证明二：如图10．4，将直三棱柱补成直四棱柱ACBD－A1C1B1D1，显然BC1//DA1．又AB1⊥BC1，所以AB1⊥A1D．而AC=BC，故平行四边形ACBD为菱形，故AB⊥CD，而AB是AB1在平面ACBD内的射影，所以AB1⊥CD，又AB1⊥DA1，于是AB1⊥平面A1DC，从而AB1⊥A1C．

说明：由本例的两种证明可以看出，证明直线与直线垂直时，常常要考虑应用三垂线定理和它的逆定理．此外，为了平移线段，可考虑将三棱柱补成四棱柱，而有些问题也可考虑将三棱锥补成四棱锥或三棱柱或平行六面体．这种“补体法”是解决立体几何问题（包括证明题和计算题）的有效方法之一，关于这一点，我们在今后还要举例说明．