直三棱柱ABC-A1B1C1,AC=BC连接AB1,BC1,CA1,若AB1垂直BC1,求证：AB1垂直CA1

直接立体几何证明写起来罗嗦，给一个用解几和向量的解法，比较方便。
建立三位直角坐标系，C点在原点，CB为x轴，CA为Y轴，CC1为Z轴。
记AC = BC = 1，CC1 = h。
那么向量AB1 = ( 1 , -1 ，h )，BC1 = ( -1 , 0 , h )，两向量垂直，所以1 * (-1) + (-1) * 0 + h * h = 0，解得h = +-1，取正的1。
于是向量CA1 = ( 0 , 1 , 1 )。
0 * 1 + 1 * (-1) + 1 * 1 = 0 所以向量AB1和向量CA1垂直。
得证。