数列a(n)满足a(n)=2a(n-1)+2^n-1,a(4)=81,(1)数列的前3项(2)求数列啊a(n)的前n项和S(n)

对于第一步，实际上就相当于一元一次方程。
a(4)=2a(3)+2^4-1 解出 a(3)=33
余此类推 a(2)=13, a(1)=5

对于第二步，可对递推公式 a(n)=2a(n-1)+2^n-1 逐层削减，把 a(n-1)换成 a(n-2)，再把a(n-2)换成a(n-3)，……，最后一直到 a(1)。具体过程如下：

a(n)=2a(n-1)+2^n-1
=2[2a(n-2)+2^(n-1)-1]+2^n-1
=2^2a(n-2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^2[2a(n-3)+2^(n-2)-1]+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^3a(n-3)+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^3[2a(n-4)+2^(n-3)-1]+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^4a(n-4)+(2^n-2^3)+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
…………
由于 1=n-(n-1)，所以可用 n-1、n-2替换上式中的4、3
上面式子最后削减到a1时的表达式为
a(n)=
2^(n-1)*a(1)+[2^n-2^(n-2)]+[2^n-2^(n-3)]+……+(2^n-2^2)+(2^n-2)+(2^n-1)
=2^(n-1)*a(1)+(n-1)*2^n-[2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)]
=2^(n-1)*a(1)+(n-1)*2^n-[2^(n-1)-1]
=2^(n-1)*5+(2n-3)*2^(n-1)+1
=(n+1)*2^n+1

此即数列的同项公式 (其中*代表乘号)
以n=1、2、3、4代入验证，与前面求出的 5、13、33、81一致。
尽管通项公式求出，但求S(n)还不是显而易见的。下面求 S(n)。

重新回答题中给出的 a(n)=2a(n-1)+2^n-1
可转化为 a(n)-a(n-1)=a(n-1)+2^n-1
因此
a(2)-a(1)=a(1)+2^2-