UC知道复平面 与 复球面
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 00:45:08
扩充复平面对应于复球面时，扩充复平面上原本无穷多个的无穷远点，只能对应到复球面上的一个点，且规定该无穷远点的方向角无意义，似乎有点牵强，与扩充复平面的直观感觉不一致。
有没有其他的什么表示方法呢？
不吝赐教。
本人设想使用“复锥面”来对应扩充复球面，其锥底过复球面的北极点（无穷远点）且平行于复平面，锥顶为复球面的0点，锥体侧面与复平面的交线即复球面与复平面的交线，以锥底圆心点与复平面上点的连线与锥体侧面的交线来表示复数，如此，复平面上不同方向上的无穷远点就可以用锥底圆环上的点一一对应。
不知可否？敬请斧正。
或者用“复半球”来表示，以球心到复平面做连线，以底面圆环作为无穷远点。
我不同意二楼的观点。
用半球来表示，无穷远的邻域，可以表示为以某条纬线到底面圆环之间的部分，同样直观。况且无穷远的邻域只是0点的某邻域的补集，只是为了表示的方便而定义的，个人认为，其是否直观并不是很重要。
重点是：无穷远点是否只有一个？是否具有角度？复球面，认为只有一个无穷远点，与复平面给我们的直观感觉不一致；而用半球，就可以有无穷多个无穷远，与复平面一致。
有没有其他的什么表示方法呢？
不吝赐教。
本人设想使用“复锥面”来对应扩充复球面，其锥底过复球面的北极点（无穷远点）且平行于复平面，锥顶为复球面的0点，锥体侧面与复平面的交线即复球面与复平面的交线，以锥底圆心点与复平面上点的连线与锥体侧面的交线来表示复数，如此，复平面上不同方向上的无穷远点就可以用锥底圆环上的点一一对应。
不知可否？敬请斧正。
或者用“复半球”来表示，以球心到复平面做连线，以底面圆环作为无穷远点。
我不同意二楼的观点。
用半球来表示，无穷远的邻域，可以表示为以某条纬线到底面圆环之间的部分，同样直观。况且无穷远的邻域只是0点的某邻域的补集，只是为了表示的方便而定义的，个人认为，其是否直观并不是很重要。
重点是：无穷远点是否只有一个？是否具有角度？复球面，认为只有一个无穷远点，与复平面给我们的直观感觉不一致；而用半球，就可以有无穷多个无穷远，与复平面一致。
复球面的定义使无穷远点的邻域能够很直观的表示。不知道你了不了解邻域，这是微积分中一个重要的基本概念，极限导数的定义都离不开它。
回“问题补充”：
邻域是单连通集，你那样定义的“无穷远的邻域”不是。
定义无穷远点，可使得扩充复平面内的任意一条简单闭曲线的内部和外部都是单连通域。而你的半球面不具有这样的拓扑性质。这种性质在很多时候可使处理更方便，比如留数定理。
关于无穷远点是否只有一个,∞可看成是零的倒数，零的辐角是任意的，由此自然认为∞的辐角也是任意的。从另一个角度来说，∞的引入很大程度上是为了方便地描述极限。如
lim 1/z =∞.
z -> 0
如果要认为辐角不同的无穷大不是同一个无穷大,则上述极限不存在.因为在复变函数中 z->0 是指复数z以任意方向任意方式趋于零,故 1/z 可以趋近于任何辐角的无穷大,即可以趋于不同的数,这就与极限的唯一性相悖.故该极限不存在.
不过这只是在复变函数这门学科中的情况,也许在别的什么学科会需要区别不同辐角的无穷大.但要知道复变函数的应用十分广范,所以一般默认是复变函数中的规定,即无穷远点的辐角任意.