一道看似简单的三角函数证明题

sin15+sin45
=sin(30/2)+sin45
=[(√(2-√3))+(√2)]/2
sin75=sin(30+45)=(√2+√6)/4
后面两个结果很容易证明是相等的
倒推法
4(2-√3)=6+2-4√3=(√6-√2)^2
两边开根号
2√(2-√3)=√6-√2
2√(2-√3)+2√2=√6+√2
两边各除以4，则得到
[(√(2-√3))+(√2)]/2=(√2+√6)/4
所以sin15+sin45=sin75

可以通过几何证明
直角三角形ABC,其中A=15度,C=75度,B=90度
取AB上一点D,使得BD=BC连接DC此时角DCB=45度
从D向AC引垂线交AC为E
由三角关系知道
sin15=BC/AC
sin45=BD/DC=BC/DC
sin75=AB/AC=AD/AC+BD/AC=AD/AC+BC/AC

如果要求被证明的等式成立只要BC/DC=AD/AC即可
即AD*DC=BC*AC

因为2DE=DC因此
2AD*DE=BC*AC
由正玄定理可以知道只要证明三角形ADE的面积为三角形ABC的1/2就可以了
因为ADE和ABC是相似三角形所以只要证明DE^2/BC^2=1/2就可以了

取DC中点F连接EF和BF,容易知道DE=EF=BF

且容易知道三角形DFB的面积是三角形DBC的一半因此有
BF^2/BC^2=1/2

因此证明出DE^2/BC^2=1/2,所以原需要证明的等式成立