方差的意义

比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数 分布为 ： ： .

问哪一个技术较好？

首先看两人平均击中环数，此时 ，从均值来看无法分辩孰优孰劣. 但从直观上看，甲基本上稳定在8环左右，而乙却一会儿击中10环，一会儿击中6环，较不稳定.因此从直观上可以讲甲的射击技术较好.

上例说明：对一随机变量，除考虑它的平均取值外，还要考虑它取值的离散程度.

称 - 为随机变量 对于均值 的离差(deviation)，它是一随机变量. 为了给出一个描述离散程度的数值，考虑用 ，但由于 = =0对一切随机变量均成立，即 的离差正负相消，因此用 是不恰当的. 我们改用 描述取值 的离散程度，这就是方差.

定义1 若 存在，为有限值，就称它是随机变量 的方差(variance)，记作Var ,

Var = (1)

但Var 的量纲与 不同，为了统一量纲，有时用 ，称为 的标准差(standard deviation).

方差是随机变量函数 的数学期望，由§1的(5)式，即可写出方差的计算公式

Var = = (2)

进一步，注意到

= =
即有

Var = . (3)

许多情况，用(3)式计算方差较方便些.