已知AB为半圆O的直径,点P为直径AB上的任意一点。

可用解析几何证明:
设P点为坐标原点.
设O点坐标为:(d,0)
A,B点坐标为:(d-r,0),(d+r,0)
圆O的方程为:
(x-d)^2+y^2=r^2 -----(1)
圆A的方程为:
(x-d+r)^2+y^2=(d-r)^2------(2)
圆B的方程为:
(x-d-r)^2+y^2=(d+r)^2------(3)
由(1)和(2)组成方程组,可得C点的x坐标.
(1)-(2)得:
(x-d)^2-(x-d+r)^2=r^2-(d-r)^2
即:(2x-2d+r)*r=d^2-2rd
x=1/2[(d^2-2rd)/r-r+2d]
所以C点的x坐标为:1/2[(d^2-2rd)/r-r+2d]
同样可得D点的x坐标为:1/2[(d^2+2rd)/r+r+2d]
因M为CD的中点,
所以M点的x坐标为:1/2{1/2[(-d^2-2rd)/r-r+2d]+1/2[(d^2+2rd)/r+r+2d]}=0
即M在y轴上.MP垂直AB
所以MP分别与⊙A和⊙B相切
问题得证.