正三棱锥 正四棱锥 正五棱锥内含正方体的最大体积的求解方法

设正棱锥的棱长为l,正方体的棱长为a,在正棱锥上截取一个平行于底面的面,这个平面的边长为X.则所截平面与底面的高为a

正三棱锥:
所截正三角形内最大正方形:a+根号3*a/2=根号3*X/2 (1)
正三棱锥的高的平方:l^2-(根号3*l/2*2/3)^2=l^2-l^2/3=l^2*2/3,所以高为:根号6*l/3,截面的高为:根号6*X/3,
所以,根号6*l/3-根号6*X/3=a,
X=l-(3a/根号6),代入(1)得
a+根号3*a/2=根号3*1/2*[l-(3a/根号6)],
解出a与l的关系即可.

正四棱锥:
所截面为正方形,所以X=a
正四棱锥的高的平方:l^2-(根号2*l/2)^2=l^2/2,所以高为:根号2*l/2
截面的高为:根号2*X/2=根号2*a/2
所以,a+根号2*a/2=根号2*l/2
a=(根号2-1)*l

正五棱锥:
比较复杂,正五边形内截取最大的正方形,找出a与X的关系.
再利用正棱锥的高,求出l与X的关系.
从而求出a与l的关系.