初中超难数学竞赛题

连CS，PB
等边△OCD中，S为中点，所以CS垂直SB。
RT△CSB中，Q为斜边中点，所以SQ=BQ=CQ=1/2CB。
同理PQ=BQ=CQ=1/2CB。
BC,OD的中点,所以SP=1/2AD。
AD=CB,所以SQ=SP=PQ.

四边形ABCD,CD//AB,AD=BC,对角线AC,BD交与点O,角ACD=60度,点P,Q,S分别为OA,BC,OD的中点,求证:△SPQ是等边三角形.
∵CD//AB,AB≠DC,AD=BC∴四边形ABCD为等腰梯形∴∠ADC=∠BCD，∵AD=BC，∠ADC=∠BCD，CD=DC，∴△ADC≌△BCD∴∠ACD=∠BDC=60°又∵AB‖CD∴△OAB和△OCD都为等边三角形，∵S、P分别为OD、OA的中点∴SP=1/2AD，连接CS、BP则△BSC和△BPC都为直角三角形，又∵Q为BC的中点，∴SQ=PQ=1/2BC，∴SP=SQ=PQ
∴△SPQ为等边三角形
(曾经做过)