将半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯横截面积最大？

方法一，以边为自变量
设 矩形的长和宽分别为 x、y。
做矩形的对角线。
因为矩形的各内角均为直角。所以对角线一定通过圆心。
根据勾骨定理：x^2 + y^2 = 4R^2
矩形的面积
S = xy

利用 (x-y)^2 ≥0 得到：
x^2 - 2xy + y^2 ≥ 0
2xy ≤ x^2 + y^2
当 x=y时，2xy 取最大值 x^2 + y^2
这时
2xy = 4R^2
xy = 2R^2
x^2 = y^2 = 2R^2
x = y = (√2)R

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方法二，以角度为自变量
连接对角线。因为内角均为直角，所以对角线过圆心。
设对角线与矩形长的夹角为 θ
则矩形的 长x 和宽y 分别为
x=2R*cosθ
y=2R*sinθ

矩形的面积
S = xy = 4R^2 * cosθ * sinθ
= 2R^2 * sin2θ
当 sin2θ = 1，即 θ = 45度时，
S取最大值 2R^2。

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两种方法的比较：从解题过程看出，方法一利用了 2xy ≤ x^2 + y^2 的代数性质。方法二利用了正弦最大值为1的三角函数性质。方法二比方法一稍微简单些。