证明:不存在这样的三位数abc,使abc+bca+cab成为完全平方数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/08 23:03:45

X= abc + bca + cab
=100a + 10b + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a +b
=111(a+b+c)
=3×37×(a+b+c)

因为 a、b、c都是一位数，且不同时为0。所以 1 ≤ a+b+c ≤27

3和37都是质数。只有当 a+b+c = 3的奇数次方 × 37的奇数次方情况下，X 才能是完全平方数。这就要求 a+b+c的最小值是 3的1次方 × 37的1次方 = 111。而实际上a+b+c的最大可能值仅为27。因此 命题成立。

设abc的个位为C，十位为B，百位为A
则abc+bca+cab=100(A+B+C)+10(A+B+C)+(A+B+C)=111(A+B+C)
又(A+B+C)最大为9*3=27
故(A+B+C)无法取111
故不存在这样的三位数abc,使abc+bca+cab成为完全平方数