如何证明:三角形周长一定,当三角形为等边三角形时,面积最大

证明：

设三角形ABC三个角分别是A,B,C，分别对应边a,b,c.周长为L则a+b+c=L

由正弦定理得三角形外接圆半径为R=c/sinC

所以面积 S= absinC/2 = abc/2R

由
abc<=[(a+b+c)/3] 立方

（这个公理不知道你知道不？跟ab<=[(a+b)/2]平方一 个道理，展开就能证明了）

得 abc<= (L/3)立方

可以看出abc的最大值是当a=b=c时，三角形是正三角形

证毕

呵呵,问的好呀.
记住一点好了,不论什么图形,周长一定的时候,图形越规则,面积越大.
圆最规则,无数条等边,所以面积最大
这就能解释为什么等边三角形面积在三角形中最大了

当底边相等的时候，高越长则面积越大。现在的高其实在等边三角形的最大。所以等边三角形的面积最大。

S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c), S 是面积，p 是二分之一周长。

p 一定，则要求 (p-a)(p-b)(p-c) 的最大值， 且三数和为 p .
于是问题变成 ： x + y + z = p , 求 xyz 的最大值。
关于这个问题，利用拉格朗日待定乘子法，可以证明当 x=y=z 时，积取最大值。对应于 等边三角形。

三角形三边分别为a,b,c 设c为底边 当a=b=c时h=c/2 所以S=1/2*h*c=(c*h)/2
当a,b,c不相等时h<c/2 所以S'<S< (c*h)/2
当底边一定时 等边三角形的高最大 所以 周长一定时等边三角形面积最大