求证：直角三角形两直角边的和小于斜边加斜边上的高。即：a+b<c+h

设斜边c由x,y组成
我是逆向思维法
假如a+b<c+h成立
那么a-c<h-b
又根据两边之和大于第三边
所以得出h+x>a,所以h-a>-x
h+y>b所以h-b>-y
所以h-b+h-a>-x-y=-c
所以得出2h+c>a+b 1式
这个结论符合两边之和大于第三边
原图中：h+y>b,h+x>a 所以2h+x+y>a+b 所以2h+c>a+b 2式
因为1式=2式
所以结论a+b<c+h成立！

证明:高h将斜边c分成两部分,设垂足为D.
对三角形ADC,AD+h>b
对三角形BDC,BD+h>a
所以a+b<AD+BD+2h
a+b<c+2h
楼上的方式是行不通的.
正确的是,
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
由直角三角形,得a^2+b^2=c^2
由h是c上的高,得三角形面积的两倍=ch=ab
所以(a+b)^2=c^2+2ch
=c(c+2h)
<{[c+(c+2h)]/2}^2
=(c+h)^2
所以a+b<c+h

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (b^2表示b的平方)
即三角形面积的4倍+a^2+ b^2 a^2+ b^2=c^2
即三角形面积的4倍+c^2

(c+h)^2=c^2+2ch+h^2
即三角形面积的4倍+h^2+ c^2

(c+h)^2-(a+b)^2=h^2 (c+h)^2-(a+b)^2>0

又因为a+b>0 c+h>0,所以即：a+b<c+h

自己画出来！
两