已知k属于Z， 向量AB=(k,1). 向量AC=(2,4), 若ABd的模小于等于4， 则三角形ABC是直角三角形的概率是

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/18 04:04:46
已知k属于Z， 向量AB=(k,1). 向量AC=(2,4), 若AB的模小于等于4， 则三角形ABC是直角三角形的概率是

请问除列举外更简便的方法
这是07年西城一模的选择题， 原题为该图的第7题

http://exam.edu.sina.com.cn/paper/67/80/8067/images/1-8.jpg

答案为(C) 3/7

可以用向量垂直其点积为0来计算一下：
向量AB=(k,1). 向量AC=(2,4), 那么向量BC=（k-2,-3)
若AB和AC垂直，则
k*2+1*4=0,k=-2

若AB和BC垂直，则
k*(k-2)+1*(-3)=0
k^2-2k-3=0,k=3或-1

若AC和BC垂直，则：
2*(k-2)+4*(-3)=0
k=8,此时|AB|>4，与题设条件矛盾，舍去这个

综合上面的，共有3个k满足

而满足AB的模小于等于4的k总共有7个，即-3,-2,...0...3
概率为3/7

刚才检验了一下，上面三个根满足勾股定理。
上次计算的时候计算错了，BC^2里面是-4k我计算成-8k了（当时把二次方的2看成乘以2多算了），不好意思

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AB^2=k^2+1
AC^2=4+16=20
BC^2=(k-2)^2+3^2=k^2-8k+8+9=k^2-8k+17

BC^2=AB^2+AC^ =>8k=-4,k=-0.5和k属于z矛盾

AB^2=BC^2+AC^2 =>8k=36,k=4.5和k属于z矛盾

AC^=AB^2+BC^2 =>k^2-4k-1=0,无整数解

故概率为0