初中数学方面

不能直接说明 ∠ABO=∠ACO.
因为：虽然有AO是∠BAC的角平分线，即∠BAO=∠CAO
由∠OBC=∠OCB 得 OB=OC
OA=OA
这三个条件好像符合全等的边边角条件，其实是不成立的，除非在直角三角形才能有边边角条件得到全等。
同样，也得不到AO延长线到BC是相互垂直的结论。
此上两点有个特殊的情况可以同时满足，即三角形ABC 为等腰或等边三角形，而O点位三角形的内心，则都能成立。
其实要验证很简单，画一个不规则的三角形，做角A的角平分线，同时做BC边的垂直平分线，则这两条线的交点就是O点，对于一般不规则的三角形（除了上面所述的特例外）都不会满足：∠ABO=∠ACO以及AO延长线到BC相互垂直。

三角形OBC一定是等腰三角形，所以∠BOE（E为ao与bc交点）＝∠COC；
所以可以得到∠ABO=∠ACO
另外AO延长线到BC是垂直的；

应该是不能直接证明的，就题目中所给的条件“边边角”没办法证明三角形AOB和三角形AOC全等。因为O只是∠BAC平分线上的一点，没有说是三角形ABC的内心。
既然不能证明∠ABO=∠ACO，也就是说不能证明AB=AC，因此不能说明三角形ABC是等腰三角形，所以当然不能证明AO延长线到BC是否垂直。

可以证明的 我认为的确可以:
上面说边边角不能证明全等
我同意 但这个是个例外
边边角的图形有两种如图1 如果角BAD=角BAD AB=AB(公共) BD=BC 是边边角 的确不全等 但是 如图2 楼主所说是角BAO=角CAO BO=CO AO=AO公共就一定全等 因为还有一种不能全等的是OD=BO 也就是三角形 ABO和ADO 但是不可能有这种情况 因为 ABD不是三角形 所以既然都全等了 那么那两角一定相等 同时延长线一定垂直
补充:还一种情况 如果是 钝角三角形 就更是一定相等了 因为没有第而种可能.... 自己画画 在仔细琢磨琢磨 应该能弄明白的