一道数学题:已知α、β是方程4x2 -4mx+m+2=0的两个根。求α2 + β2 的最小值

已知a、b是方程4x2 -4mx+m+2=0的两个根。求a^2 + b^2 的最小值

不好打你那个，改成：a,b

根据定理得：

a+b=4m/4=m

ab=(m+2)/4

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=m^2-2*(m+2)/4=m^2-1/2m-1=(m-1/4)^2-1/16-1

=(m-1/4)^2-17/16

因为方程有二根，所以判别式：16m^2-4*4(m+2)=16m^2-16m-32>=0

m^2-m-2>=0

(m-2)(m+1)>=0

所以：m>=2,m=<-1

(1)m=2,a^2+b^2=(2-1/4)^2-17/6=2

(2)m=-1,a^2+b^2=(-1-1/4)-17/6=1/2

所以最小值是：当m=-1时，最小值是：1/2

α2 + β2 = (α + β)^2 - 2αβ = m^2 - 2*(m+2)/4 =
m^2 - (1/2)m + 1 = m^2 - (1/2)m + (1/4)^2 + 15/16 =
(m - 1/4)^2 + 15/16 >= 15/16

有根，需要：
16m^2 - 16(m+2) >= 0
m^2 - m -2 >= 0
m >= 2 , or, m <= -1

于是，
(m - 1/4)^2 + 15/16 >= (-1 - 1/4)^2 + 15/16 = 2.5

α2 + β2 的最小值 = 2.5

利用两根之间的关系（韦达定理）
α+β=4m/4=m, α*β=2/4=1/2

α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=m^2-2*1/2=m^2-1