如何证明可数个可数集的并集是可数集

可数集是集合内的元素的个数是有限个的集合；
这样就好说了，即使在最不利的情况下（所有集合内的元素都不相同），
不妨把集合排一下顺序，一次命名为1、2、3……n
设第i个集合内的元素个数为Ni，则N1+N2+……+Nn的和一定是一个有限的数
最后的并集的元素个数小于等于这个和，所以它也是一个可数集。