急!!一道数学

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/24 14:24:50
正四面体ABCD的棱长为1，E是三角形ABC内一点，点E到边AB，BC，CA的距离之和为X，DE＝Y，则X的平方＋Y的平方的最小值为

首先，等边三角形内任意一点到三边的距离和就是这个三角形的高。
因为，在三角形ABE,ACE,BCE 中，面积分别是边长 a * h1 , h2 ,h3 * 0.5
h1,h2,h3 分别是E 到三边的距离。于是，S = 0.5 * a * (h1 + h2 + h3) = 0.5 * a * h
所以，X 是不变的。
于是，只需求 Y 的最小值，显然，高就是 Y 的最小值。

X = h = 1/2 * 根3 , X^2 = 3/4
Y^2 = 2/3

X^2 + Y^2 = 17/12

x是定值，x=genhao3/2,x^2=3/4.
当de垂直于底面时Y最小，y^2=2/3,相加17/12