UC知道数学展开式 常数项的疑问
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/13 11:43:13
数学展开式后的 常数项
悬赏分：5 - 解决时间：2007-5-22 14:07
若（x^2 + 1/x^4)^n 展开式中只有第4项系数最大，那么它的常数项为 ？
x^2 表示X的平方
回答：首先n=6 因为对于二项展开显然是中间的那一项系数最大
只有第四项最大，说明共有7项，所以n=6
后面就简单了
(x^2)^4*(1/x^4)^2*15,显然等于15
(x^2)^4*(1/x^4)^2*15 这个我用什么公式呀 用T5+1那个不行
我晕 第二回答者 你竟然都说了 N=6没错 为什么你不写上 T5+1 写Tr+1呀 这让我怎么确定呀 ？？？ 麻烦清清楚楚点好吗？？？？
很遗憾， 老三 你回答的字数让我热血沸腾 激情高亢 但是很遗憾的告诉你 15这个答案是答卷上的 所以他是存在的 ……
我给出一般性结论：设第k+1项二次项系数最大，则
①若n为奇数，则k=(n-1)/2和k=（n+1)/2时二次项系数相等，且都为最大项；
②若n为偶数，则k=n/2时为最大项。
证明如下：设最大项为第k+1项，解不等式C(n,k)≥C(n,k-1)得k≤(n+1)/2，
但是因为k是自然数，所以必须考虑n的奇偶性.若n为奇数，则k=(n+1)/2时最大，但是此时k=(n-1)/2和k=（n+1)/2这两项系数根据C(n,k)=C(n,n-k)相等，所以这两项系数相等都为最大。
若n为偶数，则k=（n+1)/2非整数，所以只好取k=n/2。证毕。
现在回到题目，由上面的结论可知最大项满足n/2+1=4,所以n=6。
（x^2 + 1/x^4)^6 展开式通项为C(6,k)*[(x^2)^(6-k)]*[x^(-4k)]=C(6,K)x^(12-6k),它的常数项要使12-6k=0,k=2。所以常数项为C（6，2）=15
也可以n等于6是正确的.接下来你可以利用二项式展开式的通项公式.Tr+1=C6(r)x(2*(6-r))*x(-4r)
或将其看成6个式子相乘.先从中先出2个x^2,有C6(2)种取法.即15.
我给出一般性结论：设第k+1项二次项系数最大，则
①若n为奇数，则k=(n-1)/2和k=（n+1)/2时二次项系数相等，且都为最大项；
②若n为偶数，则k=n/2时为最大项。
证明如下：设最大项为第k+1项，解不等式C(n,k)≥C(n,k-1)得k≤(n+1)/2，
但是因为k是自然数，所以必须考虑n的奇偶性.若n为奇数，则k=(n+1)/2时最大，但是此时k=(n-1)/2和k=（n+1)/2这两项系数根据C(n,k)=C(n,n-k)相等，所以这两项系数相等都为最大。
若n为偶数，则k=（n+1)/2非整数，所以只好取k=n/2。证毕。
现在回到题目，由上面的结论可知最大项满足n/2+1=4,所以n=6。
（x^2 + 1/x^4)^6 展开式通项为C(6,k)*[(x^2)^(6-k)]*[x^(-4k)]=C(6,K)x