UC知道有关函数的几个题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 13:34:55
1. 证明定义在（-∞，+∞）上的每个函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数之和
2. 设定义在（-∞，+∞）上的函数f（x）满足关系对于任意的x，y∈（-∞，+∞），f（x+y）=f（x）+f（y）。
求证：存在常数a，使得对任意有理数x，有f（x）=ax
3. 若函数y=f（x）的图形有对称轴x=a及x=b（b＞a），试证y=f（x）是周期函数，并求出周期T
4. 设周期函数f（x）在（-∞，+∞）上有定义，且周期T=1，若对任意不同的两点x1，x2∈[0，1]，满足不等式｜f(x2)-f(x1) ｜＜1/2(二分之一)。证明对任意两点x’和x” ∈（-∞，+∞）存在不等式｜f(x”)-f(x’) ｜＜1/2
要过程~如果解答很详细，很好的话，还会加分
谢谢
第四题能不能再解释一下啊？谢谢
2. 设定义在（-∞，+∞）上的函数f（x）满足关系对于任意的x，y∈（-∞，+∞），f（x+y）=f（x）+f（y）。
求证：存在常数a，使得对任意有理数x，有f（x）=ax
3. 若函数y=f（x）的图形有对称轴x=a及x=b（b＞a），试证y=f（x）是周期函数，并求出周期T
4. 设周期函数f（x）在（-∞，+∞）上有定义，且周期T=1，若对任意不同的两点x1，x2∈[0，1]，满足不等式｜f(x2)-f(x1) ｜＜1/2(二分之一)。证明对任意两点x’和x” ∈（-∞，+∞）存在不等式｜f(x”)-f(x’) ｜＜1/2
要过程~如果解答很详细，很好的话，还会加分
谢谢
第四题能不能再解释一下啊？谢谢
第二题：f(x+0)=f(x)+f(0)则有，f（0）＝0，f（x－x）＝f（x）＋f（－x）＝0，则f（－x）＝－f（x），则f（x）为奇函数．用归纳法证明f（nx）＝nf（x）．f（2x）＝f（x）＋f（x）＝2f（x），设f（nx）＝nf（x），则f（（n＋1）x）＝f（x）＋f（nx）＝f（x）＋nf（x）＝（n＋1）f（x），即证明了f（nx）＝nf（x）．由此可知，f（x）为一阶函数，设f（x）＝mx＋b，有f（0）＝0，则有f（x）＝mx，则原题得证
第三题：由已知条件可得，f（x）＝f（2a－x），f（x）＝f（2b－x），将X＝2b－x代入前公式，有f(X)=f(2a-2b+X),即可得原函数是周期函数，且周期为2a－2b，余下部分用归纳法证明，思路一样，得到原函数的周期为k＊（2b－2a），k取整数．
第四题：函数周期为1，则有f（x）＝f（x＋1＊k），对于任意的x在定义区间内，存在k1和k2，使得f（x1）＝f（x1＋k1），f（x2）＝f（x2＋k2），且x1＋k1和x2＋k2在0和1区间内，则有｜f(x2＋k2)-f(x1＋k1) ｜＜1/2，即是｜f(x2)-f(x1) ｜＜1/2
~~~~不会
第一题 任意定义在（-∞，+∞）上的函数f(x)，令
g(x)=[f(x)+f(-x)]/2
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
则必有f(x)=g(x)+h(x)，而且g(x)为偶函数，h(x)为奇函数。证毕。
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