关于初三最小值的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 01:06:45
在平面直角坐标系中，点A(3,4),试分别在X轴、Y轴上确定点P、Q，使三角形APQ的周长最小，最小周长是——————
请说明作法,快点,谢谢
以上答案都错，请再想想。

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设Q(0,Y),Q关于O点的对称点M(0,-Y),
连接AM,AM与X轴交于P(X,0)点:
Y/X=4/(3-X)
Y=4X/(3-X)...(1)
AP+PQ>=2√(AP*PQ) ...(根据A^2+B^2>=2*A*B)
所以,当√AP=√PQ,即AP=PQ有最小值,
因此:√[(3-X)^2+4*4]=√(X^2+Y^2)
得Y^2=25-6X,带入(1)化简:
6X^3-45X^2+204X-225=0
2X^3-15X^2+68X-75=0
(2X-3)(X^2-6X+25)=0
X^2-6X+25=0,无实数解[因为(-6)^2-4*1*25<0]
所以(2X-3)=0,X=3/2
带入(1),Y=4
当X=3/2,Y=4时三角形APQ的周长最小:
AP+PQ+AQ
=√[(3-X)^2+4*4]+√(X^2+Y^2)+√[3*3+(4-Y)^2]
=√[(3-3/2)^2+4*4]+√(3/2)^2+4^2)+√[3*3+(4-4)^2]
=3+√(73)