如何证明一条线段上的点与正方形上的点一样多？

康托尔的无穷大数第二级，具体证明过程就不写了，说一下原理，就是拆分坐标点坐标，以求取一一对应，先由两任意长线证起，然后推广到面，最后到体。

康托尔的无穷大数证明就是如：取直线上一点，坐标为（+258697），则可将坐标分割，像奇偶数分开成为（289，567），可找到平面上的对应点，也可分为三部分（26，59，87）成为立方体内的点。反过来也可把两维或三维坐标合为一维直线上点的坐标，且都是一一对应的，所以得结论线面体上点的数目相同，命名为“阿莱夫1”

以这条线段为边构造一个正方形，那么凡是属于这条线段上的点必然属于这个正方形，但可以从这个正方形上找到很多点不属于这条线段，由此证明这个正方形上的点比线段上的多！

其实可以这样证明的.
1,首先证明两条不同的线段有相同的点:
如三角形的中位线和边(长度肯定不同),过顶点作任意射线交中位线和边于两点,这两点不是唯一对应吗?
2,设正方形有N条长度为边长的线段线组成,将线段分成N段.每段不是和边长对应吗?

上楼说的也不能算错,有些事不能用理论来说明的.

一条线段上的点和正方形上的点一样多吗?
都是无限的点,没有谁多谁少和相等的说法,没法证明.
问者的这个问法本身就是错误的!

首先应该明确,目前对于无限有两种理解:实无限和潜无限.前者认为无限是一个已经完成的个体,例如一根有限长度的线段上的点.后者认为无限是一个构造过程而已,例如对于一根线段上的点,它的数目是不可数的,但是对于你能想到的任意大的数,你总是能在这根线段上找到更多的点,所以线段上的点是无限的.只有在实无限的前提下才可能比较无限和无限.这就是由康托尔发展起来的集合论.
根据集合论的精神,比较无限的大小依据在于在无限集A和B之间是否存在一个既单且满的映射.例如一根长1厘米的线段和一根长2厘米的线段上点是一样多的,因为设1厘米线段上的点坐标为X,则2厘米线段上的点为2X,既可以找到这样一个一一对应的函数关系,所以它们上面点的数目一样多.事实上,这种方法在伽利略时代就有了.你想知道一条线段上的点跟正方形上是否一样多,只要尝试去找一个这样的函数就可以了.反之,如果可以证明这样的函数不存在,则说明两者的点数目不一样多.<