用数学归纳法求证N的3次方加5N能被6整除~

证明：

（1）当n＝1时n^3+5n=6能被6整除

（2）设n＝k时k^3+5k能被6整除，则当n＝k+1时

(k+1)^3+5(k+1)=k^3+5k+3(k^2+k)+6

因为k^3+5k能被6整除 且6也被6整除

现在只要证明3(k^2+k)能被6整除即可

因为k为自然数 当k为偶数时k^2+k=偶数3* (k^2+k)能被6整除
当k为奇数时k^2=奇数 k+k^2＝偶数 所以（k^2+k) 也能被6整除

所以3(k^2+k)能被6整除

所以(k+1)^3+5(k+1)能被6整除

由1、2可得N的3次方加5N能被6整除

证明：当N=1时，N的3次方+5N=6，满足题意
假设当N=k时，k的3次方加5k能被6整除
则N=k+1时，（k+1)的立方+5k=k的立方+3*k的平方+3k+1
（化简：k为自然数 当k为偶数时k^2+k=偶数3* (k^2+k)能被6整除
当k为奇数时k^2=奇数 k+k^2＝偶数 所以（k^2+k) 也能被6整除

所以3(k^2+k)能被6整除

所以(k+1)^3+5(k+1)能被6整除 ）

所以当N=k+1时，结论也成立
所以N的3次方加5N能被6整除