????????一道数学函数题????????

以下是我的做法
3^y=[（mx^2+8x+n）/（x^2+1）]即（3^y-m）x^2-8x+3^y-n=0
由x为实数，知判别式大于等于0.变形
即3^(2y)-(m+n)•3^y+mn-16小于等于0 。由已知得3^Y在1与9间。
将3^Y看作整体，由根与系数关系可得。

首先定义域为R既mx^2+8x+n恒大于0，所以m>0

判别式<0,得mn>16

下面是根据值域确定mn,判别式的意义与上面不同。

解：1<=(mx^2+8x+n)/(x^2+1)<=9
所以mx^2+8x+n≥x^2+1

mx^2+8x+n≤9x^2+9

==>(m-1)x^2+8x+n-1≥0 (1) (m-9)x^2+8x+n-9≤0 (2)

(1)中m-1>0,判别式=0 (2)中m-9<0,判别式=0

==>64-4(m-1)(n-1)=0 64-4(m-9)(n-9)=0

==>15-mn+m+n=0,-65-mn+9m+9n=0

所以m=5,n=5

方法二：

意：log3(1)=0,log3(9)=2.
设t=(mx^2+8x+n)/(x^2+1)，则问题变为：
定义域为：（-∞，+∞），值域是[1，9]，求m,n的值。
由t=(mx^2+8x+n)/(x^2+1)得
(m-t)x^2+8x+(n-t)=0
因为x∈R，所以上面关于x的二次方程有实根，因而
Δ=8^2-4（m-t)(n-t)≥0
t^2-(m+n)t+mn-16≤0
因为t∈[1,9],即上面的二次不等式解集为[1，9]
所以 m+n=1+9，mn-16=1*9
解得 m=n=5