一个线性代数问题

把A和AA分别通过初等行列变换化成标准形，由于秩相等，从而标准形也相等，得证。

设A的秩为n，则A*A = |A|·E_n，其中|A|是A的行列式，E_n是n阶单位矩阵。于是rank (A) = rank (A*A) = 0：当|A|=0；或n：当|A|≠0。所以在前一种情况，rank (A) = 0意味着A=0，当然，A*A = 0 = A·E_n；在后一种情况，rank (A) = n说明A可逆，取B = A^{-1}A*A即可，其中A^{-1}是A的逆。