UC知道我对下面这个函数例题有疑问，请帮助解答！谢谢
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/11 05:25:40
设函数f(x)的定义域为（-l,l）,证明必存在（-l,l）上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).
证明：先分析如下：
假若这样的g(x)、h(x)存在，使得f(x)=g(x)+h(x)【一式】 且g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x)
于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)【二式】
****************************************************************
利用以上【一式】和【二式】，就可作出g(x)、h(x）.这就启发我们作如下证明：
作 g(x)=1/2[f(x)+f(-x)],h(x)=1/2[f(x)-f(-x)]
则g(x)+h(x)=f(x)
g(-x)=1/2[f(-x)+f(x)]=g(x)
h(-x)=1/2[f(-x)-f(x)]=-h(x)
证毕。
我想请问高手，我总感觉星号线上面的部分和星号线下面的部分，是结果推出原因，又用这个原因推出的结果，所以很迷茫，觉得这样没什么意义嘛。请指教！！谢谢！
我觉得sartrey 说的很有道理。不过这个例题是高数同济五版的教材中的啊～我很费解啊～
证明：先分析如下：
假若这样的g(x)、h(x)存在，使得f(x)=g(x)+h(x)【一式】 且g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x)
于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)【二式】
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利用以上【一式】和【二式】，就可作出g(x)、h(x）.这就启发我们作如下证明：
作 g(x)=1/2[f(x)+f(-x)],h(x)=1/2[f(x)-f(-x)]
则g(x)+h(x)=f(x)
g(-x)=1/2[f(-x)+f(x)]=g(x)
h(-x)=1/2[f(-x)-f(x)]=-h(x)
证毕。
我想请问高手，我总感觉星号线上面的部分和星号线下面的部分，是结果推出原因，又用这个原因推出的结果，所以很迷茫，觉得这样没什么意义嘛。请指教！！谢谢！
我觉得sartrey 说的很有道理。不过这个例题是高数同济五版的教材中的啊～我很费解啊～
注意星号上面的东西是提示，并非证明，所以不构成循环论证。
但星号上面的部分是利用倒推法，给出了解决问题的思路。
事实上，问题的解决依赖于函数g，h的直接构造。我们假定待构造的函数存在，而后推出一些性质，这本身并不存在逻辑问题，只要我们不用这些推出函数存在。注意，上面的证明中，只是“启发”。也就是说，实际证明的部分直接给出了g，h的构造：
g(x) = (f(x) + f(-x)) / 2,
h(x) = (f(x) - f(-x)) / 2．
写出这两个函数并不依赖于星号线前面所叙述的性质。
证明一个命题,只需证其反命题不成立,或者逆否命题成立。
星号线上一式是假设命题成立，二式是一式基础上结合已知的函数奇偶性得出的推论。
星号线下将一式、二式联立，解出了g(x)、h(x)关于f(x)的表达式，根本上建立在函数奇偶性成立基础上。所以解出的式子符合已知的函数奇偶性是必然的。不能作为命题成立的论据。
证明过程不成立。