已知数列an满足a1=1.a2=3,an+2=3an+1-2an

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 18:15:52
已知数列an满足a1=1.a2=3,an+2=3an+1-2an
(1)证明数列an+1-an是等比数列
（2）求等比数列an的通项公式
（3）若数列bn满足4^(b2-1)*4^(b2-1)…4^(bn-1)=（an+1)^bn，证明bn是等差数列

重点是第三题.第三题做出来就给你20分!!!!!!!!!!~~~~
不好意,第三题有些小错误~~应是:
若数列bn满足4^(b1-1)*4^(b2-1)…4^(bn-1)=（an+1)^bn，证明bn是等差数列

由题意可知,
an+2 -an+1 =2(an+1 -2an)
且a2-a1=2,

所以是公比为2,首项为2 的等比数列.

求出an+1 -an的通向为an+1 =2^n+an
求和2^n,
Sn=2^n -2
所以,
an=a1+Sn
an=2^n -1

4^(b1-1)*4^(b2-1)*…*4^(bn-1)=4^(b1+b2+…+bn-n)

an+1=2^n

4^(b1+b2+…+bn-n)=(an+1)^bn=4^(n*bn/2)

b1+b2+…+bn=(n/2)*bn+n

b1+b2+…+b(n-1)=((n-1)/2)*b(n-1)+(n-1)

bn/(n-1)=b(n-1)/(n-2)-2/((n-2)(n-1))

b2/1=3

bn/(n-1)=(n+1)/(n-1)

bn=n+1

故bn为等差数列

(1)由an+2=3an+1-2an 可得an+2-an+1=2(an+1-an)
因为a2-a1=2,所以an+1-an不会等于0,则an+1-an是以2为公比的等比数列
(2)由一可得an+1-an=2^n
an-an-1=2^(n-1)
.......
.......
a2-a1=2
连加可得an+1=2^(n+1)
则an=2^n
(3)由4^(b2-1)*4^(b2-1)…4^(bn-1)=（an+1)^bn化简得
2(b2+b2+b3...+bn-n)=(n+1)bn
当n=2时可得B2=4
当N=3时可得B3=5
由4^(b2-1)*4^(b2-1)…4^(bn-1)=（an+1)^bn得N要大于1
则可猜想BN=N+2
再用数学归纳