求与X轴相切,圆心在直线3X-Y=0上被直线Y=X截得的弦长等于2根号7的圆的方程.

设圆为（x－a）^2+(y-b)^2=c^2
圆心在直线3x－y＝0上所以b＝3a
与x轴相切即与y＝0只有一个根联立
得(x-a)^2+(3a)^2-c^2=0
转化得x^2-2ax+(10a^2-c^2)=0
△＝4a^2-4(10a^2-c^2)=0
c^2=9a^2
圆方程（x-a） ^2+(y-3a)^2=9a^2
将上面的方程和直线y=x再次联立
化简可以得到2x^2-8ax+a^2=0
因为弦长等于2根号7
所以上面的方程一定有2个根设为x1 x2
可以得到（x1－x2）^2+(y1-y2)^2=(2根号7)^2
这里y1＝x1 y2＝x2 就不用解释了继续化简
（x1＋x2）^2-4x1x2=0
由韦达定理带入可以求出a^2=1所以a＝±1
所以圆的方程就是（x－1）^2+(y-3)^2=9
或者（x+1）^2+(y+3)^2=9

设圆的方程为（x－a）^2+(y-b)^2=r^2 ①
∵圆心在直线3x－y＝0上，∴b＝3a ②
圆与x轴相切即y＝0只有一个根
将②与y=0代入①得(x-a)^2+(3a)^2=r^2
x^2-2ax+(10a^2-r^2)=0
△＝4a^2-4(10a^2-r^2)=0
r^2=9a^2
圆方程（x-a）^2+(y-3a)^2=9a^2
将y=x代入上式
化简得 2x^2-8ax+a^2=0
∵弦长等于2根号7
∴设方程的两个根为x1,x2
得到（x1－x2）^2+(y1-y2)^2=(2根号7)^2
y1=x1,y2=x2
则（x1＋x2）^2-4x1x2=0
由韦达定理代入可以求出 a^2=1，∴a＝±1
∴圆的方程为 （x－1）^2+(y-3)^2=9 或（x+1）^2+(y+3)^2=9