九年级数学〔一元二次方程〕请教

因为 x^2+ax+b=0
x^2+bx+a=0

所以 x^2=-b-ax
-b-ax+bx+a=0
x=0 or x=1
又 a^2+b^2=1
所以 x=0不成立

当x=1时 1+a+b=0=1+b+a
so a=-b

a^2+a^2=1 so a=b=正负二分之根号二

解法一：
假设两方程的公共根为m
则m^2+am+b=0 ①
m^2+bm+a=0 ②
用①式减②式
(a-b)m=a-b

当a≠b时a-b≠0
则m=1，代入①式或②式
得出a+b+1=0，与a^2+b^2=1连立
解得a=0，b=-1或a=-1，b=0
经检验符合题意，此时两方程有一个公共根x=1。

当a-b=0时（因为m=0时由方程得a=0，b=0与a^2+b^2=1矛盾所以m≠0）
a=b，与a^2+b^2=1连立
解出a=b=正负2分之根号下2
经检验当a=b=2分之根号下2时△1＜0，△2＜0（舍）
a=b=负2分之根号下2时符合题意，此时两方程相同有两个公共根。

解法二：
假设两方程的公共根为m，m≠0（证法同一）
则m^2+am+b=0 ① m^2+bm+a=0 ②
由①得a=-(m^2+b)/m代入②
经整理得（m-1）（m^2+bm+b）=0
则m=1或 m^2+bm+b=0 ③

m=1时解法同一

当m^2+bm+b=0 ③时
③-②得a=b，余同一

因x^2+ax+b=0和x^2+bx+a=0至少有一个公共根
则由x+ax+b=x^2+bx+a解得x=0或x=1
再将x=0代入x^2+ax+b=x^2+bx+a解得a=b
将x=1代入x^2+ax+b=0或x^2+bx+a=0解得a+b=1
又因a^2+b^2=1