我家花瓶平面图形的外形系有半径为a的1／4圆弧六段平滑连接而成，你能用直观快捷的方法求出面积吗

照我的理解，平滑连接应该是凹凸间隔交错连接的吧，如果是这样，根据对称性，图形面积就等于一个正六边形面积，正六边形边长就是直角边长a的等腰直角三角形的斜边长√2a（√2表示根号2），六边形面积是3√3a^2（a^2表示a的平方），就是图形面积了，很好算的。

反正你把六段圆弧端点的六条对应弦全部连好，就得到一个正六边形（容易看出正六边形边长是√2a），围绕这个做文章了。

如果圆弧全部外凸（就是包住正六边形），图形面积就是正六边形面积加上六个四分之一圆面积再减去六个等腰直角三角形面积：

S=3√3a^2+6πa^2/4-6a^2/2=3(√3+0.5π-1)a^2；

如果圆弧全部内凹（就是被正六边形全部围住），图形面积就是正六边形面积减去六个四分之一圆面积再加上六个等腰直角三角形面积：

S=3√3a^2-6πa^2/4+6a^2/2=3(√3-0.5π+1)a^2；

如果圆弧是呈凹凸间隔连接的（三个凹进去、另三个凸出来），因为凹进去减少的弓形面积就等于凸出来增加的弓形面积，一少一多两相抵消，图形面积其实就是正六边形面积：

S=3√3a^2。

1.5*PI*a^2

S=3√3a^2。