无理数？

由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪。1872年，德国数学家载德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

谁能详细解释一下所谓“用有理数的“分割”来定义无理数”？

请不要发带有“本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太了解罢了。 ”这一句的回答……我讨厌这个语气。
还有一个不理解的地方：现实中的数量可以是无限的吗？比如说一个圆形操场的面积，它的小数位数怎么会是无限的呢？那样它不就是无限大了吗？还是说无理数只是个抽象的概念？

无理数互相乘除还是得到无理数吗？

无理数可以作为分母吗?

非空子集是什么?

悬赏继续提高中……

这个定义非常抽象，以至对于某些数学系本科的学生来说都只是选学内容，请做好心理准备。
定义1：设A和B为有理数集Q的两个非空子集，如果A和B的并集为Q,A中的任何数都小于B中的任何数，则称A和B构成Q的一个分割，记为A/B。
定义2：设A/B是Q的一个分割，如果A中没有最大数，B中没有最小数，则称A/B确定了一个无理数c，准确地说，A/B就是一个无理数，并规定c大于A中所有数，小于B中所有数。直观地讲，这个c就是A和B之间的数。我们知道有理数集是有空隙的，这些空隙便是这样由无理数填补上了。
你可能会感到不解，一个分割这样的东西竟然会是一个数。其实数也是个很抽象的东西。以近代数学的观点来看，一个数仅仅是某个集合的一个元素，其形式是怎样的并不重要，重要的是它能进行特定的运算，有些数还要求能比较大小。
这样定义之后，任何一个无理数都是Q的一个分割，而每个有理数也对应于一个分割，我们可以对分割定义四则运算和大小关系，从而也就是对实数定义了四则运算和大小关系，这是更深入的讨论了。再往后可以由这个定义证明实数的连续性和完备性，这是实数区别于有理数的关键性质。这其中内容相当丰富，不是一两句说得完的，要是这么容易解决的话，这也不会成为困扰数学界这么久的第一次数学危机了。

还有一个不理解的地方：现实中的数量可以是无限的吗？比如说一个圆形操场的面积，它的小数位数怎么会是无限的呢？那样它不就是无限大了吗？还是说无理数只是个抽象的概念？
答：小数位数多不代表无理数 ，这个是很显然的，比如0.9999就不是无理数，但即使一个约等于0.xxx的有理数，照样是比1小的，对吗？这就像1+0.99999，即使9再多也不能大于2。
你这个问题要使延伸一下就是一个现代拓扑几何学科了，假如操场不是圆的，而是像雪花一样，每一个近似圆的地方都会有不圆的存在，一直到无限，这样的面积就不能解决了，你要用常用的数学方法丈量其面积就是无限的，这个学科就是分形几何，事实上它不是二维的。

无理数互相乘除还是得到无理数吗？
答：相同的无理数相除=1，呵呵。
无理数可以作为分母吗?
答：无理数自然可以做分母，上一个问题不就问两个无理数相除吗，除数就是分母咯。
非空子集是什么?